Résumé

Cours accéléré de niveau M2 donné en 2000. Il est divisé en huit chapitres et trois appendices. Les corps locaux sont des corps complets pour une valuation discrète. Par exemple, $p$ étant un nombre premier, le corps $\mathbb Q_p$ qui est le complété de $\mathbb Q$ pour la valuation (ou la valeur absolue) $p$-adique sur $\mathbb Q$, est un corps local. Il en est de même des extensions finies de $\mathbb Q_p$ . L’objectif de ce cours est de présenter une introduction la théorie des corps locaux et d’en donner quelques applications Diophantiennes.

1. Anneaux de valuation discrète
2. Anneaux de Dedekind
3. Extensions et ramification
4. Discriminant et ramification
5. Corps valués et complétions
6. Lemme de Hensel et applications
7. Extensions d’un corps valué complet
8. Applications Diophantiennes

Et trois appendices :

1. Espaces vectoriels topologiques et corps valués
2. Espaces de Baire
3. Corps des séries de Puiseux

Prérequis

Connaissances d’algèbre niveau M1 et de topologie niveau L3, théorie de Galois des extensions finies de corps.

Contenu

• Le polycopié du cours.