Résumé

Il s’agit de travaux dirigés niveau M2 proposés en application d’un cours de théorie algébrique des nombres et d’un cours sur les formes modulaires qui ont eu lieu en 2004/05. Ces notes sont divisées en deux parties.

L’objectif principal de la première partie était de démontrer, sous forme d’exercices, le théorème de Kummer sur l’équation de Fermat, autrement dit que si $p$ est un nombre premier régulier, l’équation $x^p + y^p + z^p = 0$ n’a pas de solutions non triviales ($xyz ≠ 0$) dans le corps cyclotomique engendré par les racines $p$-ièmes de l’unité.

On se proposait dans la seconde partie de présenter, également sous formes d’exercices, une introduction concernant certains liens entre les formes modulaires pour le groupe $\mathrm {SL}_2 (\mathbb Z)$ et les représentations galoisiennes de dimension $2$, en caractéristique finie, du groupe de Galois absolu de $\mathbb Q$. L’essentiel de cette partie est relatif à la fonction $\Delta$ de Ramanujan.

Prérequis

Connaissances de théorie de Galois et d’algèbre niveau M1.

Contenu

1. La première partie est constituée de trois chapitres. On pourra y trouver des rappels de théorie algébrique des nombres intervenant dans la démonstration du théorème de Kummer.

   1. Préliminaires.
   2. Le théorème de Kummer (exercices).
   3. Sur les nombres premiers réguliers.

2. La seconde partie est divisée en quatre chapitres :
   1. Préliminaires.
   2. Congruences relatives à $\Delta$.
   3. Représentations galoisiennes associées.
   4. Généralisations.

Il y a pour les deux parties la correction des exercices proposés.